Що таке математична індукція?

Математика отримує клеймо для студентів страшно, хоча, чим більше ти вчишся і практикуєш математику, тим веселіше та приємніше це буде. Ну, зараз ми запросимо вас дізнатися більше про математичну індукцію. Що таке математична індукція і для чого вона використовується?

Сама математична індукція може бути інтерпретована як метод доведення в математиці. Він використовується для доведення спеціальних тверджень, що містять натуральні числа. Підтвердження використання цього методу дає загальні висновки.

Вступ до математичної індукції

При доведенні за допомогою математичної індукції отримуються загальні висновки. Для одержання висновків використовуються два типи міркувань, а саме дедуктивні міркування та індуктивні міркування.

• Дедуктивне міркування - це міркування, яке починається від загальних тверджень до конкретних тверджень. Цей підхід називається "загальноспецифічним", оскільки міркування починаються із загального, а потім закінчуються конкретними речами. Приклад; всі яблука - це фрукти, всі фрукти ростуть на деревах, тому всі яблука ростуть на деревах.
• Індуктивне міркування - це міркування, що починаються від конкретних тверджень до загальних тверджень. Цей підхід називається «загальноспецифічним» підходом, оскільки твердження складаються з конкретних моментів, щоб дійти загальновизнаних висновків. Приклад; Пасажир автобуса зауважує, що кожного разу, коли водій автобуса наступає на педаль гальма, всіх пасажирів автобуса буде виштовхувати вперед.

(Читайте також: Трансформація в математиці, як що?)

Крім того, метод математичної індукції може бути використаний для доведення істинності спеціальної гіпотези, щоб вона була загальновизнаною. Отже, цей метод використовується як доказ в індуктивних міркуваннях.

Застосування математичної індукції

Застосування математичної індукції можна знайти в різних галузях математики. Гіпотези, влаштовані в математиці, повинні бути доведені, щоб бути загальновизнаними. Гіпотеза є загальноприйнятною, якщо вона виявляється істинною для всіх використовуваних числових значень. Ось приклад твердження, яке можна довести таким чином.

Доведіть, що сума ряду -n непарних чисел дорівнює n2. Де n - натуральне число.

Поселення: P_п= 1 + 3 + 5 + 7 + ... .. + (2n - 1) = n2 застосовується до кожного n € A

Основний крок: при n = 1 ми отримуємо, що P1 = 1 = 12 є правильним.

Крок індукції: припустимо, що для n = k, P_k справжнє значення. Буде показано, що при n = k + 1, P_{(k + 1)} = (k + 1) 2 істинно.

Зверніть увагу на наступні кроки:

Для n = k, тоді P_k = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) = k2 істинно.

Потім додавши [2 (k + 1) -1] до двох сторін

P_{(k + 1)} = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]

= k2 + 2k + 2 -

= k2 + 2k +

= (k + 1) 2 (доведено)

Принципи математичної індукції

Нехай P (n) - твердження, що містить натуральні числа. Вираз P (n) може бути доведено вірним для всіх натуральних чисел n, дотримуючись етапів математичної індукції.

Нижче наведено етапи підтвердження використання цього методу:

1. Доведіть, що P (1) істинно, або P (n) істинно при n = 1.
2. Якщо P (k) істинне, тоді покажіть P (k + 1) істинне для кожного додатного цілого числа k.

Якщо кроки (1) і (2) правильні, можна зробити висновок, що P (n) є істинним для кожного натурального числа n. Крок 1 називається базовим кроком, а етап 2 - індукційним.