В архітектурі існують математичні розрахунки для будівництва будівель, одним з яких є система лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь корисна для визначення координат точок перетину. Правильні координати необхідні для створення будівлі, яка відповідає ескізу. У цій статті ми обговоримо систему лінійних рівнянь із трьома змінними (SPLTV).
Три змінна система лінійних рівнянь складається з декількох лінійних рівнянь з трьома змінними. Загальна форма лінійного рівняння із трьома змінними така.
сокира + на + cz = d
a, b, c і d є дійсними числами, але a, b і c не можуть бути рівними 0. Рівняння має безліч рішень. Одне рішення можна отримати, прирівнявши будь-яке значення до двох змінних, щоб визначити значення третьої змінної.
Значення (x, y, z) - це набір рішень для системи трилінійних лінійних рівнянь, якщо значення (x, y, z) задовольняє трьом рівнянням у SPLTV. Розрахунковий набір SPLTV можна визначити двома способами, а саме методом заміщення та методом усунення.
Метод заміщення
Метод підстановки - це метод розв’язування систем лінійних рівнянь шляхом підстановки значення однієї змінної з одного рівняння на інше. Цей метод здійснюється до тих пір, поки всі змінні значення не будуть отримані в системі лінійних рівнянь із трьома змінними.
(Читайте також: Система лінійних рівнянь із двома змінними)
Метод заміщення простіше використовувати на SPLTV, який містить рівняння з коефіцієнтом 0 або 1. Ось кроки для вирішення методу заміщення.
- Знайдіть рівняння, яке має прості форми. Рівняння у простій формі мають коефіцієнт 1 або 0.
- Виразіть одну змінну у вигляді двох інших змінних. Наприклад, змінна x виражається через змінну y або z.
- Підставляйте значення змінних, отримані на другому етапі, іншими рівняннями в SPLTV, так що буде отримана система лінійних рівнянь із двома змінними (SPLDV).
- Визначте розрахунки SPLDV, отримані на третьому кроці.
- Визначте значення всіх невідомих змінних.
Давайте зробимо наступний приклад проблеми. Визначте набір розв’язків для наступної три змінної системи лінійних рівнянь.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
По-перше, ми можемо перетворити рівняння (1) на, z = -x - y - 6 у рівняння (4). Тоді ми можемо підставити рівняння (4) у рівняння (2) наступним чином.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Після цього ми можемо підставити рівняння (4) до рівняння (3) наступним чином.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
х = -5
Ми отримали значення для x = -5 та y = -3. Ми можемо підключити його до рівняння (4), щоб отримати значення z наступним чином.
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3 - 6
z = 2
Отже, маємо набір розв’язків (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Метод усунення
Метод усунення - це метод розв’язування систем лінійних рівнянь шляхом усунення однієї зі змінних у двох рівняннях. Цей метод здійснюється до тих пір, поки не залишиться лише одна змінна.
Метод усунення може бути використаний у всіх системах лінійних рівнянь із трьома змінними. Але цей метод вимагає тривалого кроку, оскільки кожен крок може виключити лише одну змінну. Для визначення набору розрахунків SPLTV потрібно мінімум 3 методи усунення. Цей метод простіший у поєднанні з методом заміщення.
Етапи вирішення за допомогою методу усунення такі.
- Зверніть увагу на три подібності на SPLTV. Якщо на одній і тій же змінній є два рівняння з однаковим коефіцієнтом, відніміть або додайте два рівняння, щоб змінна мала коефіцієнт 0.
- Якщо жодна зі змінних не має однакового коефіцієнта, помножте обидва рівняння на число, що робить коефіцієнт змінної в обох рівняннях однаковим. Відніміть або складіть два рівняння, щоб змінна мала коефіцієнт 0.
- Повторіть крок 2 для інших пар рівнянь. Змінна, опущена на цьому кроці, повинна бути такою ж, як змінна, опущена на кроці 2.
- Отримавши два нові рівняння на попередньому кроці, визначте набір рішень для цих рівнянь, використовуючи метод рішення з двома змінними лінійних рівнянь (SPLDV).
- Підставте значення двох змінних, отриманих на кроці 4, в одне з рівнянь SPLTV так, щоб було отримано значення третьої змінної.
Ми спробуємо застосувати метод усунення у наступній задачі. Визначте набір рішень SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV можна визначити набором рішень, виключивши змінну z. Спочатку складіть рівняння (1) та (2), щоб отримати:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
Потім помножте 2 у рівняння (2) і помножте 1 у рівняння (1), щоб отримати:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5x = 25
х = 5
Дізнавшись значення x, підставляємо його до рівняння (4) наступним чином.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Підставте значення x та y у рівняння (2) наступним чином.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
Таким чином, набір рішень SPLTV (x, y, z) становить (5, 3, -1).
